مجموعه ها

عناصر، نشانه Set-Builder، مجموعه متقاطع، نمودار ون

جلد مجموعه

از نظر ریاضی مجموعه ای مجموعه یا لیستی از اشیا است.

مجموعه ها فقط شامل اعداد نیستند، اما می توانند شامل موارد زیر باشند:

• غذا در یخچال شما؛
• سیارات در منظومه شمسی؛

هرچند مجموعه ها می توانند هر چیزی را داشته باشند، اغلب به اعداد مربوط می شوند که متناسب با یک الگوی هستند یا به نوعی مربوط می شوند مانند:

• مجموعه ای از عدد مثبت حتی کمتر از 10: (0، 2، 4، 6، 8)؛
• مجموعه عوامل برای شماره 12: (1، 2، 3، 4، 6، 12).

نشانه گذاری

اشیاء در یک مجموعه عناصر نامیده می شوند و علامت یا قرارداد زیر با مجموعه ها استفاده می شود:

• تنها حروف بزرگ به منظور شناسایی مجموعه ها از جمله J، E یا F استفاده می شود .
• حروف کوچک یا عددی برای عناصر یک مجموعه استفاده می شود؛
• باسن های درخشان {} لیستی از عناصر را در مجموعه نشان می دهد.
• Commas برای جدا کردن عناصر مجموعه استفاده می شود.

بنابراین نمونه هایی از نماد مجموعه عبارتند از:

J = {جاپیر، ساوتن، اروانوس، نپتون}

E = {0، 2، 4، 6، 8}؛

F = {1، 2، 3، 4، 6، 12}؛

عنصر سفارش و تکرار

عناصر در یک مجموعه به هیچ وجه خاص نیست، بنابراین مجموعه J بالا نیز می تواند به صورت زیر نوشته شود:

J = {saturn، jupiter، neptune، uranus}

یا

J = {نپتون، مشتری، اورانیوم، saturn}

عناصر تکراری مجموعه را تغییر نمی دهد، بنابراین:

J = {جاپیر، ساوتن، اروانوس، نپتون}

و

J = {یپیرتر، ساوتن، اروانوس، نپتون، یوپیت، saturn}

همان مجموعه هستند، زیرا هر دو دارای چهار عنصر مختلف هستند: مشتری، ساتورن، اورانیوم و نپتون.

مجموعه ها و الیپس ها

اگر تعداد عناصر در یک مجموعه بی نهایت یا نامحدود باشد، یک بیضه (...) برای نشان دادن اینکه الگوی مجموعه برای همیشه در این جهت ادامه می یابد.

به عنوان مثال، مجموعه ای از اعداد طبیعی شروع به صفر می کند، اما هیچ پایان ندارد، بنابراین می توان آن را در فرم نوشته شده:

{0، 1، 2، 3، 4، 5، ... }

مجموعه ای دیگر از اعداد که هیچ پایان ندارد مجموعه ای از عدد صحیح است. از آنجا که عدد صحیح می تواند مثبت یا منفی باشد، با این حال، مجموعه ای از بیضی ها در هر دو طرف به کار می رود تا نشان دهد که مجموعه در هر دو جهت به طور دائم ادامه می یابد:

{ ... ، -3، -2، -1، 0، 1، 2، 3، ... }

استفاده دیگر برای بیضی ها این است که در وسط یک مجموعه بزرگ مانند:

{0، 2، 4، 6، 8، ...، 94، 96، 98، 100}

بیضه نشان می دهد که الگوی - فقط اعداد تنها - از طریق قسمت ناخوانده مجموعه ادامه می یابد.

مجموعه های ویژه

مجموعه های خاصی که اغلب استفاده می شوند با استفاده از حروف یا نمادهای خاص شناسایی می شوند. این شامل:

• Ø یا {} - مجموعه خالی - یک مجموعه حاوی عناصر ؛
• U - مجموعه جهانی - یک مجموعه شامل تمام عناصر نسبت به یک تعریف مجموعه خاص است .
• Z - مجموعه ای از اعداد صحیح: Z = { ... ، -3، -2، -1، 0، 1، 2، 3، ... }؛
• N - اعداد طبیعی (عدد صحیح مثبت): N = {0، 1، 2، 3، 4، 5، ... }.

فهرست در مقابل روش های توصیفی

نوشتن یا فهرست عناصری از یک مجموعه، مانند مجموعه ای از سیارات داخلی و یا زمین در منظومه شمسی ما، به عنوان علامت لیست یا روش فهرست اشاره می شود .

T = {جیوه، ونوس، زمین، مارس}

گزینه دیگری برای شناسایی عناصر مجموعه ای از روش توصیفی است که از یک بیانیه کوتاه یا نام برای توصیف مجموعه ای مانند:

T = {سیارات زمینی}

نشانه Set-Builder

یک جایگزین برای فهرست و روش های توصیفی این است که از نماد set-builder استفاده کنید که یک روش مختصر است که عنوانی از مجموعه را دنبال می کند (قانون که آنها را اعضای یک مجموعه خاص می کند) .

علامت Set-builder برای مجموعه ای از اعداد طبیعی بیشتر از صفر است:

{x | x ∈ N، x > 0 }

یا

{x: x ∈ N، x > 0 }

در نماد set-builder، حرف "x" یک متغیر یا حفره یا سوراخ است که می تواند با هر حرف دیگری جایگزین شود.

شخصیت های کوتاه

نویسه های کوتاه که با نماد set-builder استفاده می شوند عبارتند از:

• نوار عمودی یا کولون ( | یا : کاراکترها) - جداسازها به عنوان خوانده شده به عنوان به عنوان ؛
• اپسیلون کوچک ( ∈ character) - به عنوان یک عنصر خوانده می شود؛
• شخصیت عامل - به عنوان یک عنصر از آن خوانده نشده است.

بنابراین، {x | x ∈ N، x > 0 } به صورت زیر خوانده می شود:

"مجموعه ای از همه x ، به طوری که x یک عنصر از مجموعه ای از اعداد طبیعی است و x بزرگتر از 0."

مجموعه و نمودار ون

نمودار ون - گاهی اوقات به عنوان یک نمودار تعریف می شود - برای نشان دادن ارتباط بین عناصر مجموعه های مختلف استفاده می شود.

در تصویر بالا، بخش همپوشانی نمودار ون نشان دهنده تقاطع مجموعه های E و F (عناصر مشترک برای هر دو مجموعه) است.

در زیر این نماد set-builder برای عملیات ذکر شده است ("U" به معنی تقاطع):

E ∩ F = {x | x ∈ E ، x ∈ F}

مرز مستطیلی و حرف U در گوشه ای از نمودار ون نشان دهنده مجموعه جهانی از تمام عناصر مورد بررسی برای این عملیات است:

U = {0، 1، 2، 3، 4، 6، 8، 12}